2007年11月数学试题更新

心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)．y值越大，表示接受能力越强．

　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？

　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？


正确答案:
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9

　　所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强.

　　当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降.

　　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59.

　　第10分时，学生的接受能力为59.

　　(3)x=13时，y取得最大值，

　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强.

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：　　

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；　　

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？




正确答案:
解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为55–40)×450=6750(元)．

　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克,而每千克的销售利润是x–40)元，所以月销售利润为：

y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=-10x2+1400x–40000(元)，

　　∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．

　　(3)要使月销售利润达到8000元，

    即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，

　　即：x2–140x+4800=0，

　　解得：x1=60，x2=80．

　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；

　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；

　　由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

一个自然数a恰等于另一自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数(如64＝82，64就是一个完全平方数).若a=19952+19952·19962+19962.求证：a是一个完全平方数.


正确答案:
证明：设1995＝k,则1996=k+1,于是a=k2+k2(k+1)2+(k+1)2=〔k2-2k(k+1)+(k+1)2〕+ 2k(k+1)+k2(k+1)2=〔k-(k+1)〕2+2k(k+1)+k2(k+1)2=12+2k(k+1)+〔k(k+1)〕2=〔1+k(k+1)〕2=(1+1995·1996)2=39820212，所以a是一个完全平方数.

证明题
已知PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于P点．

求证：P在∠A的平分线上．


正确答案:
过P作PE⊥AB于E，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H．
　　∵P在∠EBC的平分线上，
　　PE ⊥ AB，PH ⊥BC，
　　∴PE=PH(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
　　同理PH＝PG．
　　∴PH＝PG＝PE．
　　∴P在∠A的平分线上(到角两边距离相等的点在角的平分线上)．

证明题
如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连结AD、GH，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点．
（1）请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论(不要求写出证明过程)
（2）问FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论．




正确答案:
（1）本题有许多答案：
如：①∠CAM＝30°；②FD//AC；③MN⊥GH；④四边形ACDH是菱形；⑤△AGH是等边三角形；⑥△AGD是等腰三角形；⑦△ABM址直角三角形；⑧△ABC≌△DEF；⑨△AGH∽△ABC；⑩GH=BC；整个图形是轴对称图形.整个图形是中心对称图形.
（2）答：FE//GH//BC．
　　证明：∵D、A分别是正三角形ABC、正三角形DEF的中心，
　　∴∠GAD=∠GDA＝∠ADH＝∠HAD=30°
　　∴AG//DH．AH//DG，AH＝DH．
　　∴四边形AGDH是菱形．
　　∴MN⊥GH．
　　又∵MN⊥EF．MN⊥BC，
　　∴FE//GH//BC，

证明题
如果在黑板上写三个自然数；4、4、4，然后任意擦去一个数，换上未擦去的两个数的和减去1，这样继续若干次后，黑板上的数字能不能变成18、1949，2005这样的三个数？


正确答案:
不可能.   

无论怎么变都有2个偶数1个奇数.

经过第一次操作后得到4，4，7.

如果去掉7（奇数），得到的与以前相同4，4，7.

如果去掉的是4（偶数），那么剩下的是1奇1偶，

然后减1得到偶数，4，7，10.

故黑板上的数字不能出现18、1949、2005的情况.

证明题
某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．


正确答案:
我们证明每一个学生的得分都是偶数．

设某个学生答对了a道题，答错了b道题，

那么还有40-a-b道题没有答．

于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，

这是一个偶数．

所以，不论有多少人参赛，

全体学生的得分总和一定是偶数．

证明题
某校初一年段学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的一种计算器，下图是该年段全体学生使用三种不同品牌计算器人数的频率分布直方图.                     

(1)求该校初一年段学生的总人数；

(2)你认为哪种品牌计算器的使用频率最高？并求出这个频率．




正确答案:
解1)初一年段学生的总人数=20+60+120=200

  (2)丙种品牌的计算器使用频率最高.

这个频率=120÷200=0.6.

证明题
如图所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证：.




正确答案:
证:延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．

设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则

∠A+∠B+∠C=7α=180°．

由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°-4α＝3α，

所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

又由作图

AE=AC，AE=BD，

所以 BE=BD，

△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，

所以 △ABC∽△DAE，

所以,即

所以